P. Lindström; "Aspects of Incompleteness"
Memo
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読書録
目次
Chapter 1
いくつかの事実(証明は略されている)
the nonexistence of truth-definitions
読書録
Chapter 3:
Thm 3.1
任意の再帰的可算集合は$ T上の$ \Sigma_1論理式で表現可能である (numeratedの訳があっているのか分からない)
$ Tは必ずしも任意の$ \Sigma_1論理式が証明可能であるとは限らないとしても成り立つ.
Chapter 4:
すなわち無限個の公理(例えば帰納法とか)を有限個の公理で置き換えられないか?
この事実は反映原理によって否定的に解決される.Thm 4.1, 4.2 例
すなわち$ \bf PAは有限公理化可能ではない
Thm4.6
$ \bf PAの任意の拡張理論は,非冗長な公理化を持つ.
非冗長な公理とは他の公理から導出されない公理のことを指す(?)
Thm 4.7
非冗長な公理化可能な理論が存在する.
Chapter 5:
$ \Gammaは$ \Sigma_n,\Pi_nな論理式の集合とする.
$ \varphiが$ T上で$ \Gamma保存的であるとは,任意の$ Tで証明可能な$ \gamma \in \Gammaが拡張理論$ T + \varphiでも証明できることとする.
Chapter 5は部分的保存性について.
Chapter 6:
理論$ T, Sについて
$ S \vdash \varphi \implies T \vdash t(\varphi)な写像$ tは$ T内の$ S上へのinterpretation(解釈)という.
$ Sが$ Tによる解釈を持つことを$ Sが$ Tで解釈可能であるといって$ S \leq Tと書く.
$ Tが$ \bf PAの拡大理論とする.
$ \mathrm{Con}_Sは$ T内で$ Sの無矛盾性を表している文だとする.
この時,$ S \leq T + \mathrm{Con}_S
Lem 6.2
$ S \leq T$ \iff$ Sの任意の有限部分理論$ S'について$ T \vdash \mathrm{Con}_{S'}
Thm 6.6
$ Sも$ \bf PAの拡張であった場合
$ S \leq T$ \iff$ Tで証明可能な任意の$ \Pi_1文が$ Sで証明可能
更に$ T \vdash t(\varphi) \implies S \vdash \varphiである場合は$ tは忠実な(faituful)解釈とよび,$ Sは$ T上で忠実に解釈可能という.忠実な解釈可能性についても同様のことが成り立つ.
Chapter 7;
相互解釈可能性について
省略.
Chapter 8:
Chapter 1-7の一連の事実は非常に基本的な設定上(おそらく算術上という意味?)で証明された.これらを一般化する.
例えば集合論とかについて.